ポッツモデルの歴史(成立ち)

今回は,前に「研究進捗状況 2015.07.21」で述べたように,研究しているポッツモデルの歴史についてまとめる。

ポッツモデルへとつながる最初の研究は, 1943年 Ashkin と Teller [1] によって2次元正方格子のイジングモデルを4状態へと拡張したモデル4状態のモデルについて研究が行われた。次に,1952年に名前の由来となった Potts が以下に続く研究[4]を行った。Potts は,Kramers と Wannier の方法[2][3]を使用し,スピンの方向を角度とみなしてq状態に拡張した


 \mathcal{H} = - \sum _{ \langle ij \rangle } J( \Theta _{ij} )

(ここで


 \Theta _{ij} = \Theta _{n_i} - \Theta _{n_j} , \Theta _n = 2 \pi n / q, n = 0,1, \ldots , q-1

であり,和は隣接した格子点について行うという意味)というモデルを用いて


 J( \Theta ) = \varepsilon _1 \cos \Theta

の時,q = 2,3,4 の正方格子ついての臨界点を決定した。このときq > 4での臨界点を見つけることはできなかったが,


 J( \Theta ) = \varepsilon _2 \delta _{Kr} ( n_i , n_j )

の特別な場合においてはすべてのqについての臨界点が推量された。そしてポッツモデルという名前は(論文を読んでいないので分からないが)1974年に Domb によって提案[5]されたようだ。1つ目のJ(Θ)の形は planar Potts model と呼ばれ,2つ目は standard Potts model と呼ばれる。通常ポッツモデルと呼ばれるのは後者のほうである。(他にも色々と呼び方はあるみたいだ)

数式は[6]より引用

Refarences
[1] J. Ashkin and E. Teller, Phys. Rev. 64, 178 (1943).
[2] Kramers, H. A. and Wannier, G. H., Phys. Rev. 60, 252 (1941)
[3] Kramers, H. A. and Wannier, G. H., Phys. Rev. 60, 263 (1941)
[4] Potts, R. B., Proc. Camb. Phil. Soc. 48, 106 (1952)
[5] Domb, C., J. Phys. A 7, 1335 (1974)
[6] F. Y. Wu, Rev. Mod. Phys. 54, 235 (1982)

研究進捗状況 2015.07.21

前期のまとめとして現在の研究の進捗状況を書いておこと思う。

かなり前に書いたとおり,テーマはポッツモデルに関する数値的な研究を行おうとしている。
前期は,この研究を行って行く上でこれまでにされてきた研究の論文をひたすら読んだが,未だポッツモデルについて何を研究していくか決まっていない。
後期にはコロキウムで発表する場があるのでそれまでに目標を定めておきたい。

また,情報を整理するためにも簡単にまとめたものを逐次投稿しようと思う。

研究進捗状況

久しぶりの投稿となってしまった・・・

今日は,前に述べた研究の進捗状況を書こうと思う。
今見ているテキストは,数学的にポッツモデルを扱っていき,今まで学んできたことと対応付けするのにかなり苦労している。
最近,ようやくポッツモデルについての話題が出てきた。
ちょっと調べれば分かることだが,イジングモデルは状態が2つに制限されているが,ポッツモデルは状態をq状態に一般化したものであり,分配関数は
 Z = \sum _{ \{ s \} } \exp ( \beta \sum _{ \langle ij \rangle } \delta _{s_i , s_j } )
と書かれ,ここで
 \beta = \frac{J}{k_B T}
を表しており,Jはエネルギーに関する係数である。q = 2の時(厳密には全く同じではないが)イジングモデルとなることが分かる。

これからは,このポッツモデルについて,どんなことが既に知られているかなどを見ていこうと思う。

大学院での研究内容

久しぶりの投稿になってしまった・・・

新学期が始まって色々と忙しかったが、大学院で行なっていく研究の内容が大雑把ではあるが、とりあえず決まり、「 Potts モデル」についてやることになった。

Potts モデルとは Ising モデルの拡張で、Ising モデルでは状態が2つに限られているが、Potts モデルではその状態を自由度に制限を設けずN個に拡張したものであるみたいだ。

まだやることの詳細は決まっていないが、学んでいくうちに何を目標とするか定めていこうと思う。

卒研発表2日目

昨日、すべての卒業研究発表が終わった

2日目は色々とヒヤヒヤすることがあったが皆が無事に終えることができたのでよかった。

お疲れ様でした。

さて、卒論を書きますか・・・

卒研発表

昨日、卒業研究の発表を行った。

昔行った発表では緊張して何を話したのか覚えていなかったが、今回は落ち着いて発表を行えた(手は震えていたが(笑))。しかし、質問されたときにすぐに答えられないのは前から変わっていなかった。今思うと簡単な質問だったのに・・・

つぎに発表する時には今回のような失敗がないようにしたい。

今日は素粒子系の人の発表があるので楽しみだ

久々の投稿

前回、タイトルを考えるのが面倒で書かなくなっていたと言っていたがそんなことなかったですね。

最近は、卒業研究の内容として何を行うかについて悩んでいましたが、ひとまず何をやっていくかやっと今日決まりました!

テーマは”Belousov-Zhabotinsky reaction(ベロウソフ・ジャボチンスキー反応)”について、詳細は Wikipedia ベロウソフ・ジャボチンスキー反応 を見てください。あとこの反応の動画(Youtubeより)です。

なかなか面白そうだ。

今日学んだこと

最近は、非平衡系へ熱力学の拡張についてみているが、内容が難しく進捗状況は芳しくない。

今日は、線形熱力学について学んだ。線形熱力学とは、示強パラメータの空間勾配が非平衡条件の強さを表すので、不可逆流が示強パラメータの空間勾配と比例関係にあると仮定するもので、計算していくと最終的に、不可逆流が線形熱力学によって表現できるのがわかった。

今こんな状態で卒研大丈夫かな・・・。

今日の一日

僕は今、非平衡の物理を学んでいますが、参考にしている本の数式の表し方が、よく分からない書き方をしているので数式を追っていくだけでもとても苦労している。今やっているところは特に数式が多く、一日計算していても進めるページ数がせいぜい2,3ページしか進めないのでやる気が削がれていく。でもとにかくやるしかない、好きでやっているのだから。

なんか自分に言い聞かせる文章になってしまったが今日はここまで。

それではおやすみなさい。